Wiskunde B begrippen
Hieronder volgen enkele wiskundige begrippen, met hun betekenis en toelichting.
Differentieren
In ieder examen moet je wel één of meerdere functies differentiëren. Er zijn verschillende regels waar je op moet letten bij het differentiëren. Voorbeelden zijn:
kettingregel:
(F.1) \quad f(x) = f(g(x)) \rightarrow f'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)
productregel:
(F.2) \quad p(x) = f(x)\cdot g(x) \rightarrow p'(x) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)
quotiëntregel:
(F.3) \quad q(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}
Voorbeeld:
Een veelvoorkomende vraag is om de raaklijn op te stellen op een bepaald punt, hieronder staat een voorbeeld:
De onderstaande functie is hiernaast geplot.
(F.4) \quad f(x) = x^3
Vraag: bepaal de functie van de raklijn die de functie f(x) raakt in het punt (1,1).
De algemene functie van een raaklijn:
(F.5) \quad y = ax + b
Vervolgens kunnen de constantes a, b en y bepaald worden:
(F.6) \quad a = f'(x) = 3x^2
(F.7) \quad y = f(1) = 1
Dus:
(F.8 )\quad 1 = 3 \cdot 1 + b
Dit geeft:
(F.9) \quad a = 3
(F.10) \quad b = -2
De functie van de raaklijn wordt dan:
(F.11) \quad y = 3x - 2
Integreren
Een andere veelvoorkomende vraag is om een functie te integren. Een onderdeel dat erg moeilijk wordt gevonden is het wentelen om de y-as. Een voorbeeld van een functie die om de y-as wordt gewenteld staat hieronder gegeven.
Voorbeeld:
Vraag: bereken exact de inhoud van het volgende omwentelingslichaam dat om de y-as wordt gewenteld tussen x = 0 en x = 3.
Functie:
(F.12) \quad f(x) = x^3
Functie herschrijven naar x:
(F.13) \quad x = y^\frac {1}{3}
Invullen:
(F.14) \quad I_y = \int_0^{27} \pi \cdot x^2 dy = \int_0^{27} \pi \cdot y^\frac{2}{3} dy
Uitwerken geeft:
(F.15) \quad \pi {\displaystyle{\left[ \frac{3}{5}y^\frac{5}{3}\right]}} = \pi\cdot \frac{3}{5} \cdot 27 \cdot 9 = 145\frac{4}{5}\pi
In het onderstaande plaatje kan je zien wat je hebt berekent:
Figuur 3: grafiek behorende bij (F.15)
