Uitleg over omwentelingslichaam berekenen
Hoe bereken je een omwentelingslichaam? Toptrainster Irma geeft je de tips!
Op het eindexamen wordt soms gevraagd om de inhoud van de omwentelingslichaam te berekenen. Er kan worden gevraagd om te wentelen om de –as en er kan worden gevraagd om te wentelen om de -as. We zullen van beide een voorbeeldje gaan uitwerken.
Hoe wentel je om de x-as heen?
We gaan eerst kijken naar de functie. Als we die zo tekenen en we wentelen om de –as, dan pak je die functie en dan laat je hem een rondje draaien om de –as. Wat er dan ontstaat, is een soort kommetje en van het kommetje kun je de inhoud berekenen. Als je kijkt naar een doorsnede van dat kommetje, dan zie je steeds dat het doorsnede een cirkel is. We tellen eigenlijk steeds allemaal oppervlaktes van cirkels bij elkaar op en dan krijg je uiteindelijk de inhoud. De oppervlakte van een cirkel wordt gegeven door met als straal. Je ziet dat als je zo een doorsnedetje pakt, dat de hoogte steeds de functiewaarde is. Je straal is steeds , daarom doe je de hele integraal keer en doe je je functie in het kwadraat. Als wij dus dit gaan uitwerken, dan krijg je de inhoud van het omwenteling lichaam wordt gegeven door: . Onze die doen we in het kwadraat, dan krijg je . De primitieve van is een . Je vult dat daarin met in de grenzen nul en een en dan hou je precies over en dat is de inhoud van het omwentelingsgetal.
Hoe wentel je om de y-as heen?
Er kan ook gevraagd worden of je wil wentelen om de -as. In dit geval zou het er zo uitzien. We hebben de functie getekend. Dat is deze functie en die gaan we wentelen om de -as. Er ontstaat een kommetje wat rechtop staat. We willen nu de inhoud berekenen tussen 0 en 0,5. Als je dat wil doen, dan zou je allereerst de inverse van moeten berekenen. Dat doe je door de argumenten en eerst om te draaien en dan te isoleren. Eerst draaien we de functie om dan krijg je: , want de functie is . Om te isoleren moeten we eerst beide kanten in het kwadraat doen en dan krijg je dus: of . Hier hebben we naar die kant gehaald en voorraad naar de andere kant. Dit is dus onze inverse en nu is de formule die we gebruiken hetzelfde als bij wentelen om de –as. Je krijgt: . Onze inverse is , dus als we dat invullen, krijgen we . Onze grenzen zijn 0 en 0,5 want we willen van 0 tot 0.5 wentelen. Als we dan deze kwadraat gaan uitschrijven, dan krijg je: . De grenzen blijven 0 en 0,5 en we doen intergraal keer pi. De primitieve van 1 is , de primitieve van is en de primitieve van is
Als we hier de grenzen 0 en 0,5 invullen en je doet dat bijvoorbeeld in rekenmachine dan krijg je en dat is precies de inhoud van het omwentelingslichaam.
Abonneer op ons YouTube kanaal voor meer video’s!
Nog meer video’s van onze trainers bekijken waarin ze je alles uitleggen over moeilijke vakken? Abonneer je dan op ons Lyceo YouTube kanaal!
Examentraining Wiskunde B volgen?
Met de examentraining Wiskunde B van Lyceo bereid jij je optimaal voor op jouw (eind)examen. De examentrainingen van Lyceo zijn als enige in Nederland bewezen effectief. Dat blijkt uit onafhankelijk onderzoek van SEO Economisch Onderzoek. De examentraining Wiskunde A wordt gegeven door onze deskundige, enthousiaste en ervaren begeleiders. De houding en kennis van onze trainers worden door hun leerlingen met een gemiddeld cijfer van een 8,3 beoordeeld: een cijfer waar we trots op zijn.
Op de pagina Examentraining lees je meer over wat Examentraining bij Lyceo inhoudt.
Op de pagina Oefenexamens wiskunde B kun je veel verschillende oefenexamens vinden.
Op de pagina wiskunde B Tips & Tricks vind je allerlei tips die jouw helpen bij de voorbereiding op je examen.
