Uitleg over het primitiveren van complexe goniometrische functie

Hoe primitiveer je een goniometrische functie? Examentrainer Juriaan legt het uit met een voorbeeld en een handig ezelsbruggetje!

Hoe schrijf ik een complexe goniometrische functie om?

Ik heb als voorbeeldfunctie de volgende gekozen: F_((x)) 2 sin⁡〖(x)cos⁡〖(x)〗 〗. We willen daar nu de primitieve van hebben, want we willen uiteindelijk gaan integreren. Ik wil uiteindelijk de oppervlakte onder deze functie weten. Hoe vind ik hiervan de primitieve? Als je een complexe goniometrische functie hebt, dus iets met meerdere sinussen of meerdere cosinussen erin is de eerste stap om dat zo makkelijk mogelijk te schrijven. Ik ga een van de omschrijfregels gebruiken om hier iets simpelers van te maken, want dat is makkelijker te primitiveren. Ik ga hiervoor een van de verdubbelingsregels gebruiken. Dit hebben jullie vast wel ergens gezien in jullie boek of in een opgave, maar de volgende komt nu van pas. We hebben hier 2 sin⁡〖(x)cos⁡〖(x)〗 〗 en dat mag je ook schrijven als: sin⁡〖(2x)〗. Dit stukje hier rechts is een stuk makkelijker om te primitiveren.

Hoe vind je de primitieve van de sinus?

Dan wil ik nu dus de primitieven van sin⁡〖(2x)〗 hebben en dat is nog steeds best lastig. Daarvoor hebben we ten eerste een hele handige ezelsbrug. Als je deze nog niet kent, probeer dit een keertje te gebruiken, want dat is heel erg handig.
Ik schrijf op mijn bord of op je blaadje sinus en rechts daarvan zet je cosinus, en dan zet je op de regel daaronder hetzelfde, maar omgekeerd. Eerst cosinus en dan sinus en bij die onderste twee zet je nog een minnetje. Als je nu naar dit vierkantje kijkt, kan je met de klok meegaan, dus deze richting, dan ben je aan het differentiëren. Maar je kan ook tegen de klok ingaan, dus in deze richting en dan ben je dus het tegenovergestelde aan het doen van differentiëren en dat is primitieven. Als je hem tegen de klok in volgt, dan vind je de primitieve.
Dat is heel handig, want we zoeken nu de primitieve van de sinus en je ziet hier dus als ik hier een sinus heb staan, dan is dus de primitieve daarvan een -cosinus. Dat is de volgende stap. We weten nu dat de primitieven van een sinus en -cosinus is.
We gaan weer even terug naar de opgave, want we waren bezig om de primitieven te vinden van de functie sin⁡〖(2x)〗 en in het ezelsbruggetje hebben we net gezien dat de primitieve van een sinus gelijk is aan -cosinus, dus ik weet nu dat mijn primitieve, mijn F, gelijk is aan -cosinus en tussen de haakjes moet ik hetzelfde neerzetten als dat daar ook staat. Ik heb nu F_((x) )=-cos⁡〖(2x)〗. Dan ben ik bijna klaar, want waar ik nog op moet letten is dat dit een kettingfunctie is. Je hebt hier als buitenste functie sinus van iets en dan zit er binnen die functie nog eens de functie 2x. Dat betekent dat het een kettingfunctie is en als je een kettingfunctie gaat prioriteren, dan moet je daar rekening mee houden. Ik moet nu in dit geval nog 1/2 voor de primitieve zetten. Ik moet dat ervoor zetten, omdat ik uiteindelijk nog keer de afgeleide van de binnenste functie doe als ik deze ga differentiëren. Ik doe dus keer 2 aan het eind en dat wil ik helemaal niet, dus daarvoor ga ik compenseren door er 1/2 voor te zetten. Nu heb ik de goede primitieve. Ik moet er ook nog een plus c’tje achter zetten. Als ik dit nu zou afleiden, dan kom ik als het goed is precies op deze functie uit en dat betekent dus dat dit een correcte primitieve is van deze functie F.

Abonneer op ons YouTube kanaal voor meer video’s!

Nog meer video’s van onze trainers bekijken waarin ze je alles uitleggen over moeilijke vakken? Abonneer je dan op ons Lyceo YouTube kanaal!

Examentraining Wiskunde B volgen?

Met de examentraining Wiskunde B van Lyceo bereid jij je optimaal voor op jouw (eind)examen. De examentrainingen van Lyceo zijn als enige in Nederland bewezen effectief. Dat blijkt uit onafhankelijk onderzoek van SEO Economisch Onderzoek. De examentraining Wiskunde A wordt gegeven door onze deskundige, enthousiaste en ervaren begeleiders. De houding en kennis van onze trainers worden door hun leerlingen met een gemiddeld cijfer van een 8,3 beoordeeld: een cijfer waar we trots op zijn. 

Meld je aan!

Op de pagina Examentraining lees je meer over wat Examentraining bij Lyceo inhoudt.
Op de pagina Oefenexamens wiskunde B kun je veel verschillende oefenexamens vinden.
Op de pagina wiskunde B Tips & Tricks vind je allerlei tips die jouw helpen bij de voorbereiding op je examen.